Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STI2D — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Nouvelle-Calédonie 2023. Il porte sur les thèmes Équations différentielles et Fonction exponentielle. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Montée en température du moteur
La température du moteur (exprimée en °C) est modélisée par une fonction $\theta $ dépendant du temps (exprimé en secondes) écoulé depuis le démarrage du moteur.
On admet que la fonction $\theta $, définie et dérivable sur $[0 ; +\infty[$, est une solution sur cet intervalle de l'équation différentielle suivante :
$$y' = -\frac{1}{180}y + \frac{4}{9}.$$
Déterminer les solutions sur $[0 ; +\infty[$ de cette équation différentielle.
À $ t = 0 $, la température du moteur est de $ 20°\mathrm{C}$.
Montrer alors que la fonction $\theta $ est définie sur $[0 ; +\infty[$ par :
$$\theta(t) = 80 - 60e^{-\frac{1}{180}t}.$$
Résoudre sur $[0 ; +\infty[$ l'équation $\theta(t) = 79 $.
Le changement de carburant ne doit pas modifier la montée en température du moteur. La température optimale de fonctionnement du moteur est de $ 79°\mathrm{C}$. Cette température doit être atteinte en moins de vingt minutes.
Indiquer si cette condition est respectée.