Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STI2D — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Nouvelle-Calédonie 2025. Il couvre 3 thèmes : Aires et volumes, Calcul intégral et primitives, Nombres complexes. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie I
Dans un repère orthogonal d'origine O, on considère les points $ A(0\,;\, 12)$, $ B(1\,;\, 12)$ et $ C(1\,;\, 0)$.
Dans la figure ci-dessous, deux courbes $\mathscr{C}_1 $ et $\mathscr{C}_2 $ délimitent un domaine grisé $\mathscr{D}_1 $, un domaine hachuré $\mathscr{D}_2 $, et un domaine $ D_3 $ non coloré, à l'intérieur du rectangle OABC.
Figure représentant les domaines $\mathscr{D}_1$, $\mathscr{D}_2$, $D_3$ dans le rectangle OABC
La courbe $\mathscr{C}_2 $ est la représentation graphique de la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $[0\,;\,1]$ par :
$$f(x) = 6x^3 + 6x^2$$
Calculer l'intégrale $$\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$$
On admet que la fonction $ f $ est positive sur l'intervalle $[0\,;\, 1]$.
Interpréter le résultat du calcul précédent dans le contexte de l'exercice.
L'aire du domaine $\mathscr{D}_2 $ hachuré a été calculée (en unité d'aire) à l'aide d'un logiciel et vaut $\dfrac{135}{32}$.
Estimer l'aire en unité d'aire du domaine $ D_3 $.
Partie II
On considère les nombres complexes $ z_1 = 1 - i\sqrt{3}$ et $ z_2 = 4\,e^{i\frac{\pi}{6}}$ où $ i $ désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
Écrire le nombre $ z_1 $ sous forme exponentielle. Détailler les calculs.
Démontrer que le nombre $ Z = z_1^2 \times z_2 $, est un nombre imaginaire pur en détaillant les calculs.