Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STI2D — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Métropole Antilles-Guyane 2025. Il porte sur les thèmes Dérivation et étude de fonctions et Fonction logarithme népérien. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Une coulée comme Leon Marchand
On appelle coulée la phase sous-marine qui suit le plongeon ou le virage d'un nageur. Cet exercice présente une évaluation des forces de frottements auxquelles le nageur est soumis lors d'une coulée.
Partie 1
On suppose que le déplacement du nageur se produit à une profondeur constante lors de la coulée. Pendant cette phase, le sportif se laisse glisser dans l'eau, sans nager. Le mouvement du nageur est supposé rectiligne. Dans ces conditions, on peut considérer que le nageur est uniquement soumis à la force résultante des forces de frottement de l'eau sur son corps, appelée traînée hydrodynamique et notée $\overrightarrow{T}$. Cette force est de même direction que la vitesse du nageur, mais de sens opposé.
La figure 1 ci-après représente l'évolution de la vitesse du nageur en fonction du temps.
Figure 1 - Vitesse du nageur en fonction du temps
Indiquer en justifiant la réponse si le mouvement lors de la coulée du nageur est accéléré, décéléré, ou uniforme.
Partie 2
On détermine un modèle numérique à partir de l'expérience de la partie 1. On suppose que la distance parcourue par le nageur durant la coulée, exprimée en mètre, en fonction du temps $ t $, exprimée en seconde, est définie sur l'intervalle $[0; 2]$ par :
$$f(t) = 3{,}64\ln(1+t).$$
Calculer $ f(0)$.
On admet que la vitesse du nageur, en $\mathrm{m/s}$, est donnée, en fonction du temps en $\mathrm{s}$, par $ v(t) = \dfrac{3{,}64}{1+t}$. Montrer que l'accélération, correspondant à la dérivée de $ v $, est $ a(t) = -\dfrac{3{,}64}{(1+t)^2}$.
Interpréter le signe de $ a $ dans le contexte de l'exercice et vérifier la cohérence avec l'observation de la courbe représentative de la fonction $ v $.
Rappeler la relation entre le vecteur accélération $\overrightarrow{a}$ et la force de traînée hydrodynamique $\overrightarrow{T}$. Montrer que la modélisation effectuée est compatible avec une force de traînée de valeur proportionnelle au carré de la vitesse.