Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STI2D — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Métropole Antilles-Guyane 2025. Il couvre 5 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions, Équations différentielles…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans cet exercice, les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes les unes des autres.
Pour cette question, indiquer la lettre de la réponse exacte, en justifiant votre choix.
On considère la fonction $ f $ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = e^{-0{,}016x} - 2$$
et on note $ f'$ sa fonction dérivée.
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
| $ f(0) = -2 $ | $ f'(x) = e^{-0{,}016x}$ | $ f $ est croissante sur $\mathbb{R}$ | $ f $ est décroissante sur $\mathbb{R}$ |
Soit la fonction $ f $ définie sur $[0 ; +\infty[$ par
$$f(x) = \dfrac{30}{2+x}.$$
Est-il vrai que la valeur moyenne de $ f $ sur l'intervalle $[5; 15]$ est supérieure à 3 ?
Justifier la réponse.
Rappel : la valeur moyenne de la fonction $ f $ sur l'intervalle $[a ; b]$ est $$\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$$.
On note $ f(t)$ la température (en °C) d'un café en fonction du temps $ t $ (en minute) écoulé depuis sa sortie d'une machine à expresso. À l'instant $ t = 0 $, la température initiale du café est $ 83\ °C $.
On admet que la fonction température est solution sur $[0 ; +\infty[$ de l'équation différentielle :
$$y' = -0{,}08y + 1{,}84.$$
Déterminer l'expression de l'unique solution $ f $ qui vérifie les données précédentes.
On note $ f(t)$ la température (en °C) d'un café en fonction du temps $ t $ (en minute) écoulé depuis sa sortie d'une machine à expresso. On admet, pour tout $ t \in [0 ; +\infty[$, l'expression suivante :
$$f(t) = 60\,e^{-0{,}08t} + 23.$$
Au bout de combien de temps la température du café sera-t-elle inférieure ou égale à $ 44\ °C $ ? Donner la réponse à la minute près.