Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STI2D — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Mexique 2023. Il porte sur les thèmes Dérivation et étude de fonctions et Fonction exponentielle. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Étude en laboratoire de la décharge d'un supercondensateur
On réalise un montage qui permet de charger un supercondensateur de capacité égale à 372 F avec un générateur (interrupteur sur 1), puis de le décharger dans le conducteur ohmique de résistance $ R $ (interrupteur sur 2).
Le graphique ci-dessous représente l'enregistrement de l'évolution de la tension aux bornes du supercondensateur au cours de sa décharge.
Enregistrement de l'évolution de la tension aux bornes du supercondensateur au cours de sa décharge
Données : énergie $ W_c $ accumulée par le supercondensateur
$$W_c = \frac{1}{2} \times C \times u^2$$
Avec $ C $ : capacité du supercondensateur en farad (F)
$ u $ : tension aux bornes du supercondensateur en volt (V)
$ W_c $ : énergie stockée dans le supercondensateur en joule (J)
$ 1\ \mathrm{W\,h} = 3\,600\ \mathrm{J}$
À partir du graphique, déterminer l'énergie initiale disponible dans le supercondensateur.
Sachant que sa masse est de 60 g, montrer que son énergie massique est bien typique d'un supercondensateur.
L'évolution de la tension aux bornes du supercondensateur, après fermeture de l'interrupteur K en position 2, est modélisée par la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par :
$$f(x) = 2{,}3\,e^{-0{,}0112\,x},$$
où $ x $ représente le temps en seconde.
Montrer qu'une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $ f $ au point d'abscisse 0 est :
$$y = -0{,}02576\,x + 2{,}3.$$
On rappelle qu'une équation de la tangente à la courbe représentative d'une fonction $ f $ au point d'abscisse $ a $ est
$$y = f'(a)(x - a) + f(a) \quad \text{où } f' \text{ est la fonction dérivée de } f.$$
Déterminer l'abscisse $\tau $ du point d'intersection de cette tangente avec l'axe des abscisses. On donnera une valeur approchée à $ 10^{-1}$ près.
Déterminer la capacité $ C $ du supercondensateur sachant que $\tau = RC $ et $ R = 0{,}235\ \Omega $. Comparer la valeur obtenue à partir de ce modèle avec les données du constructeur.