Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STI2D — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Centres étrangers 2023. Il couvre 4 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
Soit la fonction $ f $ définie et dérivable sur $[0 ; +\infty[$ par
$$f(x) = x\, e^{-x}.$$
Donner la limite de $ f $ en $+\infty $.
Montrer que pour tout réel $ x $ appartenant à $[0 ; +\infty[$, $ f'(x) = e^{-x}(1 - x)$, où $ f'$ désigne la fonction dérivée de $ f $.
En déduire le tableau complet des variations de la fonction $ f $ sur $[0 ; +\infty[$.
On considère les nombres complexes $ z_1 = 6\, e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $ z_2 = -\sqrt{3} + i $, où $ i $ désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
Écrire $ z_2 $ sous forme exponentielle. Détailler les calculs.
En déduire une écriture du nombre complexe $ Z = \dfrac{z_1}{z_2^3}$ sous forme exponentielle.