BAC TERM_STL 2021 — Métropole J1 · 7 juin 2021
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STL — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Métropole J1 2021. Il couvre 6 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
{Mathématiques}
Exercice 3 commun à tous les candidats
Vous traiterez 4 questions au choix parmi les 6 questions proposées.
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Pour les questions 1 et 2, on considère la fonction suivante :
Soit $ g $ la fonction définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par :
$$g(x) = (2x - 1)e^{-x}$$
Question 1 :
Calculer $ g(0)$.
Question 2 :
On admet que la fonction $ g $ est dérivable sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ et on note $ g'$ sa fonction dérivée.
Montrer que, pour tout réel $ x $ appartenant à $[0\,;\,+\infty[$, $$g'(x) = (-2x + 3)e^{-x}.$$
Justifier que $ g(x) < 2e^{-\frac{3}{2}}$ pour $ x > \dfrac{3}{2}$.
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Question 3 :
Sachant que $\cos\!\left(\dfrac{9\pi}{5}\right) = \dfrac{\sqrt{5}+1}{4}$, exprimer $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{5}\right)$ en fonction de $\sqrt{5}$.
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Question 4 :
On considère l'intégrale $ I $ suivante :
$$I = \int_0^2 (2x-1)\,dx$$
Montrer que $ I = 2 $.
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Question 5 :
Simplifier le nombre suivant en détaillant les calculs :
$$A = 5\ln\!\left(e^3\right) - 4\ln\!\left(\frac{1}{e^2}\right)$$
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Question 6 :
ABCD est un carré de côté 3 cm et DCE est un triangle rectangle et isocèle en C.
Donner la valeur du produit scalaire $\overrightarrow{EB} \cdot \overrightarrow{ED}$.