Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STL — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Polynésie J1 2022. Il couvre 5 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 3 commun à tous les candidats — 4 points
(Vous traiterez 4 questions au choix parmi les 6 questions proposées)
Dans cet exercice, on s'intéresse à l'énergie stockée dans la batterie d'un téléphone portable. Cette grandeur s'exprime en kW·h. Lorsque la batterie est totalement chargée, l'énergie stockée vaut $ 0{,}715 $ kW·h. Lors du branchement de la batterie vide sur une borne de recharge, l'énergie stockée dans la batterie (en kW·h) en fonction du temps $ t $ (en heure) est modélisée par une fonction $ f $ définie sur $[0\,;+\infty[$ par :
$$f(t) = a\,e^{-t} + b$$
où $ a $ et $ b $ sont deux réels à déterminer.
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{Mathématiques}
Sachant que $$\displaystyle\lim_{t \to +\infty} f(t) = 0{,}715$$, déterminer la valeur de $ b $.
Sachant que $ f(0) = 0 $, déterminer la valeur de $ a $.
Dans les questions suivantes, on admet que pour tout nombre réel $ t > 0 $ :
$$f(t) = -0{,}715\,e^{-t} + 0{,}715$$
Montrer que pour tout nombre réel $ t > 0 $, $ f(t) < 0{,}715 $.
Déterminer la fonction dérivée $ f'$ de la fonction $ f $.
En déduire le sens de variation de la fonction $ f $ sur $[0\,;+\infty[$.
La durée de demi-charge est le temps nécessaire pour charger à 50 % une batterie qui était vide au départ.
Déterminer la durée de demi-charge de la batterie de ce téléphone en minute et seconde, arrondie à la seconde.
On considère la fonction en langage Python suivante :
```python
from math import exp
def temps(pourcentage) :
t = 0
y = 0
while y < pourcentage 0.715 :
t = t + 1/60
y = - 0.715exp(-t) + 0.715
return(t)
```
Que renvoie l'exécution de l'instruction `temps(0.15)` ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
On considère la fonction $ F $ définie sur $[0\,;+\infty[$ par :
$$F(t) = 0{,}715\,t + 0{,}715\,e^{-t}$$
Vérifier que $ F $ est une primitive de $ f $ sur $[0\,;+\infty[$.
On admet que l'énergie stockée moyenne de la batterie sur $[0\,;\,3{,}5]$ est égale à :
$$m = \frac{1}{3{,}5}\left[F(3{,}5) - F(0)\right]$$
Cette énergie stockée moyenne est-elle égale à la moitié de l'énergie stockée maximale ? Justifier la réponse.