Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STL — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Polynésie J1 2023. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
La fonction $ f $ est définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par :
$$f(x) = x\, e^{0{,}02x} - 10\,000$$
Déterminer $$\lim_{x \to +\infty} f(x)$$.
On note $ f'$ la fonction dérivée de $ f $ sur $[0\,;\,+\infty[$. Justifier que pour tout nombre réel $ x > 0 $ :
$$f'(x) = (1 + 0{,}02x)\,e^{0{,}02x}$$
En déduire le sens de variation de $ f $ sur $[0\,;\,+\infty[$.
L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
« Tout nombre réel $ x $, compris entre 0 et 1 000, a une image négative par $ f $. »
Quatre fonctions A, B, C et D sont écrites dans le même programme Python ci-dessous. Laquelle de ces quatre fonctions permet de déterminer la plus petite valeur entière dont l'image par $ f $ est positive ?
```python
from math import exp
def A( ) :
n = 0
return n exp(0.02 n) – 10000
def B( ) :
n = 0
f = – 10000
while f < 0 :
n = n + 1
f = n exp(0.02 n) – 10000
return n
def C( ) :
f = – 10000
for n in range(0,1000) :
f = n exp(0.02 n) – 10000
return f
def D( ) :
n = 0
f = – 10000
if f < 0 :
n = n + 1
f = n exp(0.02 n) – 10000
return n
```