BAC TERM_STL 2023 — Polynésie J1 · 14 mars 2023
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STL — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Polynésie J1 2023. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Chute verticale dans un fluide visqueux
Cet exercice propose de modéliser la chute verticale d'une bille de plomb dans une huile alimentaire.
Données :
- Les actions exercées par le fluide sur la bille sont modélisées par une force de frottement fluide : $\overrightarrow{f} = -6\pi\eta r\overrightarrow{v}$ dans laquelle $\eta $ est la viscosité du fluide, $ r $ est le rayon de la bille et $\overrightarrow{v}$ le vecteur vitesse de la bille ;
- intensité de la pesanteur : $ g = 9{,}81 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$ ;
- intervalle des valeurs courantes de la viscosité $\eta $ d'une huile alimentaire : entre 60 et 100 mPa·s.
Une bille de plomb de rayon $ r = 1{,}03 $ mm et de masse $ m = 0{,}056 $ g est lâchée à $ t = 0 $ s sans vitesse initiale dans une huile alimentaire. On nomme $ v(t)$ la valeur de la vitesse de la bille, exprimée en m·s $^{-1}$, à l'instant exprimé en seconde. L'axe $ Oy $ est orienté suivant la verticale descendante.
Le pointage des positions successives de la bille permet de tracer l'évolution de sa vitesse en fonction du temps :
Justifier, à partir des résultats de la figure 1, que la chute de la bille n'est pas une chute libre.
Estimer graphiquement la valeur de la vitesse de chute de la bille en régime permanent.
Pour la suite de l'exercice, on prendra comme valeur de la viscosité de l'huile alimentaire $\eta = 80 \times 10^{-3}$ Pa·s.
En considérant le système bille dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, écrire l'expression vectorielle de la seconde loi de Newton.
En déduire, par projection de la deuxième loi de Newton sur l'axe $ (Oy)$, que la vitesse de chute de la bille doit vérifier l'égalité :
$$\frac{dv}{dt} = -\frac{6\pi\eta r}{m}v + g$$
Étude mathématique de la vitesse
On souhaite déterminer une expression de la vitesse de la chute de la bille. Les données physiques de l'expérience conduisent à résoudre l'équation différentielle $ (E)$ :
$$y' = -27{,}7\, y + 9{,}81$$
Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $ (E)$.
Montrer que l'unique solution $ v $ de l'équation différentielle $ (E)$ qui vérifie $ v(0) = 0 $ est définie par l'expression :
$$v(t) = \frac{9{,}81}{27{,}7} \times \left(1 - e^{-27{,}7t}\right)$$
Calculer $$\lim_{t \to +\infty} v(t)$$.
Analyse du modèle obtenu
Dans cette expérience, la valeur de la vitesse de la bille, exprimée en m·s $^{-1}$, en fonction du temps $ t $ exprimé en s, est donnée par la fonction $ v $ définie sur $[0\,;\,0{,}5]$ dont l'expression est :
$$v(t) = 0{,}35 \times \left(1 - e^{-27{,}7t}\right)$$
Vérifier la cohérence de l'ordre de grandeur de la limite obtenue à la question 7 avec celui de la vitesse en régime permanent estimée à la question 2. Proposer une justification à l'écart observé.