Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STL — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session La Réunion J1 2023. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 3 — Questions indépendantes
Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
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Question 1
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $ e^{2t} > 0{,}12 $.
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Question 2
On considère la fonction $ F $ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$F(t) = a\,e^{2t} + 6$$
$ F $ est une primitive de la fonction $ f $ définie sur $\mathbb{R}$ par $ f(t) = 6e^{2t} + 6 $. Déterminer la valeur de $ a $.
Donner une autre primitive de la fonction $ f $.
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Question 3
On s'intéresse à l'équipement des habitants d'une grande ville en ordinateurs depuis 2000. La part (exprimée en %) des habitants de cette ville ayant au moins un ordinateur est modélisée par la fonction $ f $ définie sur $[0\,;\,+\infty]$ par :
$$f(t) = \frac{94{,}6}{1 + e^{0{,}6 - 0{,}2t}}$$
où $ t $ est la durée écoulée (en année) depuis l'année 2000.
Montrer que le taux d'équipement ne peut jamais être supérieur à 94,6 %.
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Question 4
Soit $ f $ la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty]$ par :
$$f(x) = \frac{e^x}{x^2 + 26x}$$
Déterminer la limite de la fonction $ f $ lorsque $ x $ tend vers $+\infty $.