BAC TERM_STL 2023 — La Réunion J1 · 28 mars 2023
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STL — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session La Réunion J1 2023. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 1 — La production de sucre inverti
La production de sucre inverti est réalisée en laboratoire lors de la transformation chimique du saccharose en milieu acide, en chauffant. On définit la vitesse $ v $ de disparition du saccharose de concentration $ c $ en quantité de matière par :
$$v = -\frac{dc}{dt}$$
Expérimentalement, nous réalisons un suivi cinétique de cette transformation qui permet d'obtenir le graphe ci-après représentant l'évolution de la vitesse $ v $ de disparition du saccharose en fonction de sa concentration $ c $ en quantité de matière dans le mélange. On peut modéliser cette situation par une fonction linéaire.
À partir du graphique précédent, choisir, en justifiant la réponse, le modèle adapté à la cinétique chimique de cette réaction parmi les propositions suivantes :
- modèle 1 : $ v = k $
- modèle 2 : $ v = k \cdot c $
- modèle 3 : $ v = k \cdot c^{2}$
où $ k $ est la constante de vitesse.
Déterminer une valeur approchée de la constante de vitesse $ k $ en précisant son unité. Dans la suite de cet exercice, on prendra $ k = 7 \times 10^{-4}$.
Déterminer le temps de demi-réaction $ t_{\frac{1}{2}}$ défini par la relation : $$t_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln(2)}{k}$$
Commenter le résultat précédent en qualifiant de rapide ou lente la transformation chimique réalisée au laboratoire.
À partir du modèle identifié à la question 1, on montre que la cinétique de l'hydrolyse du saccharose peut être modélisée par l'équation différentielle $ (E)$ :
$$\frac{dc}{dt} = -k \times c \quad \text{(soit en mathématiques } y' = -k \times y\text{)}$$
où $ k = 7 \times 10^{-4}$.
Résoudre sur $[0\,;\,+\infty[$ cette équation différentielle.
Sachant que pour $ t = 0 $, la concentration initiale du saccharose vaut $ 0{,}4\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$, montrer que l'unique solution de l'équation $ (E)$ est la fonction $ c $ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par :
$$c(t) = 0{,}4 \times e^{-7 \times 10^{-4} \times t}$$
Déterminer la limite de $ c(t)$ lorsque $ t $ tend vers $+\infty $.
Interpréter ce résultat dans le contexte de la production réalisée en laboratoire.