Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STL — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Métropole J1 2023. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans cet exercice, les quatre questions sont indépendantes. Il faut traiter les quatre questions.
QUESTION 1 :
Soit la fonction $ f $ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $ f(x) = (3x + 5)e^{x}$.
Vérifier que $ f(0)$ est un nombre entier que l'on précisera.
QUESTION 2 :
Soit la fonction $ f $ définie et dérivable sur $[0 ; +\infty[$ par $ f(x) = (x - 5)e^{3x}$. On note $ f'$ sa fonction dérivée.
Démontrer que pour tout $ x $ appartenant à l'intervalle $[0 ; +\infty[$, $ f'(x) = (3x - 14)e^{3x}$.
QUESTION 3 :
On donne : $ A = \ln\left(\dfrac{25}{8}\right)$.
En détaillant les calculs, écrire $ A $ sous la forme $ a\ln(2) + b\ln(5)$, $ a $ et $ b $ étant deux nombres entiers relatifs.
QUESTION 4 :
On considère l'équation différentielle (E) : $ y' = 3y - 12 $, où $ y $ est une fonction de variable $ x $, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
Déterminer la fonction $ f $ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, solution de (E), qui vérifie $ f(0) = 8 $.