Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STL — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Métropole J1 2025. Il couvre 4 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Équations différentielles, Fonction exponentielle…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans cet exercice, les quatre questions sont indépendantes. Il faut traiter les quatre questions.
Question 1
Soit la fonction $ f $ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $ f(x) = 5x^{2} - 2x + 8\ln(x)$.
Calculer l'image de 1 par la fonction $ f $.
Question 2
Soit la fonction $ f $ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $ f(x) = 5x^{2} - 2x + 8\ln(x)$. On admet que la fonction $ f $ est dérivable sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ et on note $ f'$ sa fonction dérivée.
Calculer $ f'(x)$.
Question 3
On donne le nombre $ A $ suivant :
$$A = \frac{e^{-12}}{e^{3}}$$
Écrire $ A $ sous la forme $ e^{k}$ où $ k $ est un nombre entier relatif.
Question 4
On considère l'équation différentielle $ (E)$ : $ y' = 3y - 12 $, où $ y $ est une fonction de la variable $ x $, dérivable sur $\mathbb{R}$.
Montrer que la fonction $ f $ définie pour tout réel $ x $ par $ f(x) = 4e^{3x} + 4 $ est solution de l'équation différentielle $ (E)$.