BAC TERM_STL 2025 — Nouvelle-Calédonie · 20 novembre 2025
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STL — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Nouvelle-Calédonie 2025. Il couvre 4 thèmes : Analyse graphique, Équations différentielles, Fonction exponentielle…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Datation au carbone 14
Le carbone possède deux isotopes stables : le carbone 12 (très majoritaire dans la nature) et le carbone 13 (minoritaire). Le carbone 14 est un isotope radioactif du carbone. Les scientifiques s'en servent pour estimer l'âge d'objets anciens : œuvres d'art, fossiles... Cet exercice a pour objectif d'étudier la désintégration radioactive du carbone 14.
Données : extrait du tableau périodique des éléments.
| Élément | Symbole | Z | Élément | Symbole | Z |
|---|---|---|---|---|---|
| Hydrogène | H | 1 | Bore | B | 5 |
| Hélium | He | 2 | Carbone | C | 6 |
| Lithium | Li | 3 | Azote | N | 7 |
| Béryllium | Be | 4 | Oxygène | O | 8 |
Donner la composition des noyaux de carbone ${}^{12}_{6}\text{C}$ et ${}^{14}_{6}\text{C}$.
Indiquer pourquoi ces noyaux sont qualifiés d'isotopes.
Le carbone 14 subit une désintégration de type $\beta^{-}$.
Recopier sur sa copie et compléter l'équation de la réaction nucléaire suivante : $${}^{14}_{6}\text{C} \rightarrow \ldots \quad (\text{désintégration de type } \beta^{-})$$
La loi de désintégration radioactive suit l'équation : $\mathrm{d}N(t) = -\lambda N(t)\,\mathrm{d}t $ ; où $ N(t)$ est le nombre de noyaux radioactifs à l'instant $ t $, et $\lambda $ est la constante de la désintégration, avec $\lambda > 0 $. Ainsi le nombre de noyaux radioactifs vérifie l'équation différentielle du $ 1^{\text{er}}$ ordre :
$$(E) : y' = -\lambda y$$
où $ y $ est une fonction de la variable réelle $ t $, exprimée en année, définie et dérivable sur $[0\,;\,+\infty[$. La fonction $ y $ représente le nombre de noyaux radioactifs.
En considérant $ y(0) = 100 $, montrer que pour $ t > 0 $ : $$y(t) = 100 \times e^{-\lambda t}$$
Déterminer la limite de $ y(t)$ lorsque $ t $ tend vers $+\infty $.
Résoudre l'équation $ y(t) = 50 $. Donner la réponse en fonction de $\lambda $.
Sur le document réponse DR1 en page 4 (à rendre avec la copie), déterminer graphiquement la valeur du temps de demi-vie $ t_{1/2}$. La construction graphique doit apparaître sur le document réponse.
On sait que : $$t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$$
En déduire la valeur de la constante de désintégration $\lambda $. En donner une valeur arrondie à $ 10^{-5}$.