Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STL — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Nouvelle-Calédonie 2022. Il couvre 6 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Analyse graphique, Dérivation et étude de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
{Mathématiques}
EXERCICE 3 commun à tous les candidats
Vous traiterez 4 questions au choix parmi les 6 questions proposées.
Écrire sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la bonne réponse. Aucune justification n'est attendue (sauf mention contraire).
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Question 1
On donne ci-dessous un tracé de la courbe représentative $\mathscr{C}_f $ d'une fonction $ f $ définie sur $\mathbb{R}$ :
$ f'(-2) =$
a. $ 0 $
b. $ 2 $
c. $-1 $
d. $-2{,}25 $
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Question 2
On considère l'équation $\ln(x) = 7 $. Cette équation admet pour solution :
a. $\ln(7)$
b. $\ln\!\left(e^7\right)$
c. $ e^7 $
d. $\dfrac{1}{7}$
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Question 3
On considère la fonction $ f $ définie sur $\mathbb{R}$ par $ f(x) = x e^{2x}$. Déterminer $ f'(x)$, où $ f'$ est la fonction dérivée de la fonction $ f $. Justifier la réponse.
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Question 4
Soit $ ABCD $ un carré de côté $ 4 $ cm. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$. Justifier la réponse.
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Question 5
On considère l'équation différentielle suivante :
$$v' = -4{,}5\, v + 6{,}3 \quad (E)$$
Déterminer la fonction $ v $ solution de l'équation $ (E)$ et vérifiant la condition initiale $ v(0) = 0 $. Justifier la réponse.
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Question 6
Afin d'étudier l'évolution d'une population de bactéries à l'intérieur d'une boîte fermée, on considère la fonction $ f $ définie pour tout $ t > 0 $ par
$$f(t) = \frac{100}{1 + e^{-1{,}3t}}$$
où $ f(t)$ désigne le nombre de bactéries (exprimé en millier) à l'instant $ t $ (exprimé en heure).
Le programme Python ci-dessous affiche la valeur de $ t $ (arrondie à l'unité) à partir de laquelle le nombre de bactéries à l'intérieur de l'enceinte dépasse $ 99\,000 $ :
```python
from math import exp
T = 0
while 100/(1+exp(-1.3*T)) <= 99:
T = T + 1
print(T)
```
Quelle est la valeur affichée lorsqu'on exécute ce programme ?