BAC 1ère 2026 — Sujet 0 — n°2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Mathématiques Spécifiques (Première générale, tronc commun), session Sujet 0 — n°2 2026. Il porte sur les thèmes Analyse graphique et Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 1
On étudie la croissance d'une population de champignons.
Partie A.
Au début de l'expérience, on dispose de 100 champignons. Toutes les dix minutes, on mesure l'évolution de leur nombre. On obtient les résultats suivants.
| Temps écoulé (en minutes) | Nombre de champignons |
|---|---|
| 0 | 100 |
| 10 | 125 |
| 20 | 150 |
| 30 | 175 |
Soit $ n $ un entier naturel. On note $ u_n $ le nombre de champignons après $ n $ périodes de dix minutes. Ainsi $ u_0 = 100 $, $ u_1 = 125 $, $ u_2 = 150 $, ...
Justifier que les termes $ u_0 $, $ u_1 $, $ u_2 $, $ u_3 $ sont en progression arithmétique.
En supposant que la population de champignons continue d'évoluer selon le même rythme, montrer qu'elle aura quadruplé deux heures après le début de l'expérience.
Partie B.
En réalité, on constate que la population de champignons a quadruplé 80 minutes après le début de l'expérience. De nouvelles mesures donnent les résultats suivants.
| Temps écoulé (en minutes) | Nombre de champignons |
|---|---|
| 0 | 100 |
| 40 | 200 |
| 80 | 400 |
| 120 | 800 |
Soit $ n $ un entier naturel. On note $ v_n $ le nombre de champignons, après $ n $ périodes de quarante minutes. Ainsi $ v_0 = 100 $, $ v_1 = 200 $, $ v_2 = 400 $...
Montrer que les termes $ v_0 $, $ v_1 $, $ v_2 $, $ v_3 $ sont en progression géométrique.
On suppose que la suite $ (v_n)$ est une suite géométrique de raison 2. Indiquer sans justifier lequel des 4 graphiques ci-dessous est susceptible de représenter la suite $ (v_n)$.
Quel sera le nombre de champignons quatre heures après le début de l'expérience ?
Cinq heures après le début de l'expérience, on dénombre environ 18 000 champignons. Est-ce cohérent avec le modèle choisi ?
Aide au calcul : $ 2^6 = 64 $ ; $ 2^7 = 128 $ ; $ 2^8 = 256 $ ; $ 2^9 = 512 $ ; $ 2^{10} = 1\,024 $