BAC Spé Maths 2024 — Polynésie J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J2 2024. Il couvre 4 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$$u_0 = 8 \quad \text{et pour tout entier naturel } n,\quad u_{n+1} = u_n - \ln\!\left(\frac{u_n}{4}\right).$$
Donner les valeurs arrondies au centième de $u_1$ et $u_2$.
On considère la fonction `mystere` définie ci-dessous en Python. On admet que, pour tout réel strictement positif `a`, `log(a)` renvoie la valeur du logarithme népérien de `a`.
def mystere(k):
u = 8
S = 0
for i in range(k):
S = S + u
u = u - log(u / 4)
return S
L'exécution de `mystere(10)` renvoie `58.44045206721732`. Que représente ce résultat ?
Modifier la fonction précédente afin qu'elle renvoie la moyenne des $k$ premiers termes de la suite $(u_n)$.
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = x - \ln\!\left(\frac{x}{4}\right).$$
On donne ci-dessous une représentation graphique $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ comprises entre 0 et 6.
$\mathscr{C}_f$
Étudier les variations de $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et dresser son tableau de variations.
On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$. Les limites ne sont pas demandées.
Dans la suite de l'exercice, on remarquera que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.
Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a :
$$1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.$$
En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle.
On note $\ell$ la valeur de cette limite.
Résoudre l'équation $f(x) = x$.
En déduire la valeur de $\ell$.