Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J2 2025. Il couvre 6 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dénombrement et combinatoire, Dérivation et étude de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 4
Partie A : dénombrement
On considère l'ensemble des nombres entiers relatifs non nuls compris entre $-30$ et $30$ ; cet ensemble peut s'écrire ainsi : $\{-30\,;\,-29\,;\,-28\,;\,\ldots\,-1\,;\,1\,;\,\ldots\,;\,28\,;\,29\,;\,30\}$. Il comporte 60 éléments.
On choisit dans cet ensemble successivement et sans remise un entier relatif $a$ puis un entier relatif $c$.
Combien de couples $(a\,;\,c)$ différents peut-on ainsi obtenir ?
On considère l'évènement $M$ : « l'équation $ax^2+2x+c=0$ possède deux solutions réelles distinctes », où $a$ et $c$ sont les entiers relatifs précédemment choisis.
Montrer que l'évènement $M$ a lieu si et seulement si $ac < 1$.
Expliquer pourquoi l'évènement contraire $\overline{M}$ comporte 1 740 issues.
Quelle est la probabilité de l'évènement $M$ ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$.
Partie B : équation différentielle
On considère l'équation différentielle
$$(E) : \quad y' + 10y = \left(30x^2+22x-8\right)e^{-5x+1} \quad \text{avec} \quad x \in \mathbb{R}$$
où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle : $y' + 10y = 0$.
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = (6x^2+2x-2)e^{-5x+1}.$$
On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
Justifier que $f$ est une solution particulière de $(E)$.
Donner l'expression de toutes les solutions de $(E)$.
Partie C : étude de fonction
On propose d'étudier dans cette partie la fonction $f$ rencontrée à la partie B question 2.
On rappelle que, pour tout réel $x$, $f(x) = \left(6x^2+2x-2\right)e^{-5x+1}$.
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On appelle $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.
On admet que $$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$$.
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
En utilisant la partie A, montrer que $\mathscr{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points (les coordonnées de ces points ne sont pas attendues).
En utilisant les parties A et B, montrer que $\mathscr{C}_f$ possède deux tangentes horizontales.
Dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$.
Déterminer en justifiant le nombre de solution(s) de l'équation $f(x) = 1$.
Pour tout réel $m$ strictement supérieur à $0{,}2$, on définit $I_m$ par $$I_m = \displaystyle\int_{0,2}^{m} f(x)\,\mathrm{d}x$$.
Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$F(x) = \left(-\frac{6}{5}x^2 - \frac{22}{25}x + \frac{28}{125}\right)e^{-5x+1}$$
est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle $I_m = 0$ ?
Interpréter graphiquement ce résultat.