Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J1 2025. Il couvre 4 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points :
$$A(4\,;\,-4\,;\,4),\quad B(5\,;\,-3\,;\,2),\quad C(6\,;\,-2\,;\,3),\quad D(5\,;\,1\,;\,1)$$
Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est :
$$x - y - 8 = 0.$$
On note $d$ la droite passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
On note $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$. Déterminer les coordonnées du point $H$.
Montrer que $DH = 2\sqrt{2}$.
Montrer que le volume de la pyramide $ABCD$ est égal à $2$.
On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide se calcule à l'aide de la formule :
$$V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$$
où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base de la pyramide et $h$ la hauteur correspondante.
On admet que l'aire du triangle $BCD$ est égale à $\dfrac{\sqrt{42}}{2}$. En déduire la valeur exacte de la distance du point $A$ au plan $(BCD)$.