Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J1 2024. Il couvre 4 thèmes : Calcul intégral et primitives, Limites de fonctions, Python…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Pour tout entier naturel $n$, on considère les intégrales suivantes :
$$I_n = \int_0^{\pi} e^{-nx}\sin(x)\,\mathrm{d}x, \quad J_n = \int_0^{\pi} e^{-nx}\cos(x)\,\mathrm{d}x.$$
Calculer $I_0$.
Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $I_n > 0$.
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $I_{n+1} - I_n \leqslant 0$.
Déduire des deux questions précédentes que la suite $(I_n)$ converge.
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$I_n \leqslant \int_0^{\pi} e^{-nx}\,\mathrm{d}x.$$
Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a :
$$\int_0^{\pi} e^{-nx}\,\mathrm{d}x = \frac{1 - e^{-n\pi}}{n}.$$
Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $(I_n)$.
En intégrant par parties l'intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :
$$I_n = 1 + e^{-n\pi} - nJ_n \quad \text{et} \quad I_n = \frac{1}{n}J_n$$
En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a
$$I_n = \frac{1 + e^{-n\pi}}{n^2 + 1}$$
On souhaite obtenir le rang $n$ à partir duquel la suite $(I_n)$ devient inférieure à $0{,}1$.
Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.
from math import *
def seuil() :
n = 0
I = 2
...
n=n+1
I=(1+exp(-n*pi))/(n*n+1)
return n