Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J2 2024. Il couvre 4 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Repérage dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB = 3$ et $AD = AE = 1$ représenté ci-dessous.
Pavé droit ABCDEFGH avec AB = 3, AD = AE = 1, point I sur [AB], point M milieu de [CD]
On considère le point $I$ du segment $[AB]$ tel que $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AI}$ et on appelle $M$ le milieu du segment $[CD]$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(A\,;\,\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$.
Sans justifier, donner les coordonnées des points $F$, $H$ et $M$.
Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(HMF)$.
En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est :
$$2x + 6y + 3z - 9 = 0.$$
Le plan $\mathcal{P}$ dont une équation cartésienne est $5x + 15y - 3z + 7 = 0$ est-il parallèle au plan $(HMF)$ ? Justifier la réponse.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(DG)$.
On appelle $N$ le point d'intersection de la droite $(DG)$ avec le plan $(HMF)$.
Déterminer les coordonnées du point $N$.
Le point $R$ de coordonnées $\left(3\,;\,\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$ est-il le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HMF)$ ? Justifier la réponse.