BAC Spé Maths 2024 — Amérique du Sud J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J1 2024. Il couvre 4 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Dérivation et étude de fonctions, Équations différentielles…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
PARTIE A
On considère l'équation différentielle
$$(E) : y' + \frac{1}{4}y = 20\,e^{-\frac{1}{4}x},$$
d'inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$.
Déterminer la valeur du réel $a$ tel que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ par $g(x) = ax\,e^{-\frac{1}{4}x}$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
On considère l'équation différentielle
$$(E') : y' + \frac{1}{4}y = 0,$$
d'inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$.
Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E')$.
En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $f(0) = 8$.
PARTIE B
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = (20x + 8)\,e^{-\frac{1}{4}x}.$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$. De plus, on admet que $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.$$
Justifier que, pour tout réel $x$ positif,
$$f'(x) = (18 - 5x)\,e^{-\frac{1}{4}x}.$$
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. On précisera la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$.
Dans cette question on s'intéresse à l'équation $f(x) = 8$.
Justifier que l'équation $f(x) = 8$ admet une unique solution, notée $\alpha$, dans l'intervalle $\left[14\,;\,15\right]$.
Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction `solution_equation` ci-contre, écrite en langage Python.
Tableau de suivi de l'algorithme solution_equation
from math import exp
def f(x):
return (20*x+8)*exp(-1/4*x)
def solution_equation():
a, b = 14, 15
while b - a > 0.1:
m = (a + b) / 2
if f(m) > 8:
a = m
else:
b = m
return a, b
Quel est l'objectif de la fonction `solution_equation` dans le contexte de la question ?