BAC Spé Maths 2024 — Amérique du Sud J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J2 2024. Il couvre 3 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie 1
On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = \left(x^2 - 4\right)e^{-x}.$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x) = \left(-x^2 + 2x + 4\right)e^{-x}$.
En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
Partie 2
On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$I_n = \int_{-2}^{0} x^n e^{-x}\,dx.$$
Justifier que $I_0 = e^2 - 1$.
En utilisant une intégration par parties, démontrer l'égalité :
$$I_{n+1} = (-2)^{n+1}e^2 + (n+1)I_n.$$
En déduire les valeurs exactes de $I_1$ et de $I_2$.
Partie 3
Déterminer le signe sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie dans la partie 1.
On a représenté ci-contre la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath}\right)$.
Courbe C_f et domaine D hachuré
Le domaine $D$ du plan hachuré ci-contre est délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
Calculer la valeur exacte, en unité d'aire, de l'aire $S$ du domaine $D$.