BAC Spé Maths 2024 — Polynésie J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J1 2024. Il couvre 4 thèmes : Calcul intégral et primitives, Divers, Équations différentielles…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Une entreprise fabrique des objets en plastique en injectant dans un moule de la matière fondue à $210\,\mathrm{°C}$. On cherche à modéliser le refroidissement du matériau à l'aide d'une fonction $f$ donnant la température du matériau injecté en fonction du temps $t$.
Le temps est exprimé en seconde et la température est exprimée en degré Celsius.
On admet que la fonction $f$ cherchée est solution d'une équation différentielle de la forme suivante où $m$ est une constante réelle que l'on cherche à déterminer :
$$(E) : \quad y' + 0{,}02\,y = m$$
Partie A
Justifier l'affichage suivant d'un logiciel de calcul formel :
La température de l'atelier est de $30\,\mathrm{°C}$. On admet que la température $f(t)$ tend vers $30\,\mathrm{°C}$ lorsque $t$ tend vers l'infini.
Démontrer que $m = 0{,}6$.
Déterminer l'expression de la fonction $f$ cherchée en tenant compte de la condition initiale $f(0) = 210$.
Partie B
On admet ici que la température (exprimée en degré Celsius) du matériau injecté en fonction du temps (exprimé en seconde) est donnée par la fonction dont l'expression et une représentation graphique sont données ci-dessous :
$$f(t) = 180e^{-0{,}02t} + 30.$$
Représentation graphique de $f(t) = 180e^{-0{,}02t} + 30$ — température (en °C) en fonction du temps (en s)
L'objet peut être démoulé lorsque sa température devient inférieure à $50\,\mathrm{°C}$.
Par lecture graphique, donner une valeur approchée du nombre $T$ de secondes à attendre avant de démouler l'objet.
Déterminer par le calcul la valeur exacte de ce temps $T$.
À l'aide d'une intégrale, calculer la valeur moyenne de la température sur les 100 premières secondes.