BAC Spé Maths 2023 — Métropole J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 2023. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$.
On appelle $I$ le point d'intersection du plan $(GBD)$ avec la droite $(EC)$.
L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE}\right)$.
Cube $ABCDEFGH$ avec les points $I$ et $J$
Donner dans ce repère les coordonnées des points $E$, $C$, $G$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EC)$.
Démontrer que la droite $(EC)$ est orthogonale au plan $(GBD)$.
Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(GBD)$ est :
$$x + y - z - 1 = 0.$$
Montrer que le point $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\right)$.
En déduire que la distance du point $E$ au plan $(GBD)$ est égale à $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
Démontrer que le triangle $BDG$ est équilatéral.
Calculer l'aire du triangle $BDG$.
On pourra utiliser le point $J$, milieu du segment $[BD]$.
Justifier que le volume du tétraèdre $EGBD$ est égal à $\dfrac{1}{3}$.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac{1}{3}Bh$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.