Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J1 2023. Il couvre 4 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 3
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points
$$A(0\,;\,4\,;\,16),\quad B(0\,;\,4\,;\,-10),\quad C(4\,;\,-8\,;\,0) \quad \text{et} \quad K(0\,;\,4\,;\,3).$$
On définit la sphère $S$ de centre $K$ et de rayon $13$ comme l'ensemble des points $M$ tels que $KM = 13$.
Vérifier que le point $C$ appartient à la sphère $S$.
Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
On admet que la sphère $S$ coupe l'axe des abscisses en deux points, l'un ayant une abscisse positive et l'autre une abscisse négative. On note $D$ celui qui a une abscisse positive.
Montrer que le point $D$ a pour coordonnées $(12\,;\,0\,;\,0)$.
Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.
Déterminer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
Calculer une valeur approchée, à l'unité de volume près, du volume du tétraèdre $ABCD$.
On rappelle la formule du volume $V$ d'un tétraèdre
$$V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h,$$
où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée.