BAC Spé Maths 2023 — Polynésie J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J2 2023. Il couvre 3 thèmes : Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 1 — Thème : probabilités, suites
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment
Partie A
Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d'entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente que
- si l'athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans 90% des cas le jour suivant ;
- si l'athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans 70% des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.
On note pour tout entier naturel $n$ :
- $R_n$ l'évènement : « L'athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance »,
- $p_n$ la probabilité de l'évènement $R_n$. On considère que $p_0 = 0{,}6$.
Soit $n$ un entier naturel, recopier l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.
Arbre pondéré à compléter
Justifier en vous aidant de l'arbre que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$p_{n+1} = 0{,}6p_n + 0{,}3$$
On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = p_n - 0{,}75$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :
$$p_n = 0{,}75 - 0{,}15 \times 0{,}6^n$$
En déduire que la suite $(p_n)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
Interpréter la valeur de $\ell$ dans le cadre de l'exercice.
Partie B
Après de nombreuses séances d'entraînement, l'entraîneur estime maintenant que l'athlète franchit chaque haie avec une probabilité de $0{,}75$ et ce indépendamment d'avoir franchi ou non les haies précédentes.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l'athlète à l'issue d'un 400 mètres haies qui comporte 10 haies.
Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que l'athlète franchisse les 10 haies.
Calculer $p(X \geqslant 9)$, à $10^{-3}$ près.