BAC Spé Maths 2023 — Polynésie J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J2 2023. Il porte sur les thèmes Dérivation et étude de fonctions et Fonction exponentielle. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 3 — Thème : étude de fonctions
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment
Partie A
Le plan est ramené à un repère orthogonal.
On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, ainsi que celle de sa dérivée $f'$ et de sa dérivée seconde $f''$.
$\mathscr{C}_1$, $\mathscr{C}_2$, $\mathscr{C}_3$
Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.
Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_2$ au point d'abscisse $4$.
Donner avec la précision permise par le graphique, l'abscisse de chaque point d'inflexion de la courbe $\mathscr{C}_1$.
Partie B
Soit un réel $k$ strictement positif.
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$g(x) = \frac{4}{1 + e^{-kx}}$$
Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
Prouver que $g'(0) = k$.
En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel, prouver que la courbe de $g$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $0$.
