BAC Spé Maths 2022 — Asie J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J2 2022. Il couvre 4 thèmes : Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités, Probabilités conditionnelles et Bayes…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie 1
Julien doit prendre l'avion ; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l'aéroport.
S'il prend le bus de 8 h, il est sûr d'être à l'aéroport à temps pour son vol.
Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d'arriver à temps à l'aéroport.
Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu'il manque son bus est de $0{,}8$.
S'il manque son bus, il se rend à l'aéroport en prenant une compagnie de voitures privées ; il a alors une probabilité de $0{,}5$ d'être à l'heure à l'aéroport.
On notera :
- $B$ l'évènement : « Julien réussit à prendre son bus » ;
- $V$ l'évènement : « Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol ».
Donner la valeur de $P_B(V)$.
Représenter la situation par un arbre pondéré.
Montrer que $P(V) = 0{,}6$.
Si Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu'il soit arrivé à l'aéroport en bus ? Justifier.
Partie 2
Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu'il n'y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l'embarquement du vol sur lequel ils ont réservé. On appelle cette pratique le surbooking.
Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a $5\%$ de chance de ne pas se présenter à l'embarquement.
Considérons un vol dans un avion de $200$ places pour lequel $206$ billets ont été vendus. On suppose que la présence à l'embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l'embarquement.
Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l'embarquement ?
Calculer la probabilité que $201$ passagers se présentent à l'embarquement. Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près.
Calculer $P(X \leqslant 200)$, le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
La compagnie aérienne vend chaque billet à $250$ euros.
Si plus de $200$ passagers se présentent à l'embarquement, la compagnie doit rembourser le billet d'avion et payer une pénalité de $600$ euros à chaque passager lésé.
On appelle :
- $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer bien qu'ayant acheté un billet ;
- $C$ la variable aléatoire qui totalise le chiffre d'affaire de la compagnie aérienne sur ce vol.
On admet que $Y$ suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant :
Loi de probabilité de $Y$
Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant $P(Y = 6)$.
Justifier que : $C = 51500 - 850Y$.
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $C$ sous forme d'un tableau.
Calculer l'espérance de la variable aléatoire $C$ à l'euro près.
Comparer le chiffre d'affaires obtenu en vendant exactement $200$ billets et le chiffre d'affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.