BAC Spé Maths 2021 — Métropole J1 Septembre 2021
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 Septembre 2021. Il couvre 4 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Repérage dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE A — Au choix du candidat
Principaux domaines abordés : Géométrie de l'espace rapporté à un repère orthonormé.
On considère le cube $ABCDEFGH$ donné en annexe.
On donne trois points $I$, $J$ et $K$ vérifiant :
$$\vec{EI} = \frac{1}{4}\vec{EH}, \quad \vec{EJ} = \frac{1}{4}\vec{EF}, \quad \vec{BK} = \frac{1}{4}\vec{BF}$$
Les points $I$, $J$ et $K$ sont représentés sur la figure donnée en annexe, à compléter et à rendre avec la copie.
On se place dans le repère orthonormé $\left(A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE}\right)$.
Cube $ABCDEFGH$ avec les points $I$, $J$, $K$ — annexe à compléter
Donner sans justification les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$.
Démontrer que le vecteur $\vec{AG}$ est normal au plan $(IJK)$.
Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est $4x + 4y + 4z - 5 = 0$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(BC)$.
En déduire les coordonnées du point $L$, point d'intersection de la droite $(BC)$ avec le plan $(IJK)$.
Sur la figure en annexe, placer le point $L$ et construire l'intersection du plan $(IJK)$ avec la face $(BCGF)$.
Soit $M\!\left(\dfrac{1}{4}\,;\,1\,;\,0\right)$. Montrer que les points $I$, $J$, $L$ et $M$ sont coplanaires.