BAC Spé Maths 2021 — Métropole J2 Mars 2021
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 Mars 2021. Il couvre 3 thèmes : Analyse graphique, Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice A (au choix du candidat)
Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle ; dérivation.
Courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ des fonctions $f(x) = x^2 e^{-x}$ et $g(x) = e^{-x}$ avec les points $M$ et $N$
Le graphique ci-contre représente, dans un repère orthogonal, les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = x^2 e^{-x} \quad \text{et} \quad g(x) = e^{-x}.$$
La question 3 est indépendante des questions 1 et 2.
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left[-1\ ;\ 1\right]$, on considère les points $M$ de coordonnées $(x\ ;\ f(x))$ et $N$ de coordonnées $(x\ ;\ g(x))$, et on note $d(x)$ la distance $MN$. On admet que :
$$d(x) = e^{-x} - x^2 e^{-x}.$$
On admet que la fonction $d$ est dérivable sur l'intervalle $\left[-1\ ;\ 1\right]$ et on note $d'$ sa fonction dérivée.
Montrer que $d'(x) = e^{-x}\left(x^2 - 2x - 1\right)$.
En déduire les variations de la fonction $d$ sur l'intervalle $\left[-1\ ;\ 1\right]$.
Déterminer l'abscisse commune $x_0$ des points $M_0$ et $N_0$ permettant d'obtenir une distance $d(x_0)$ maximale, et donner une valeur approchée à $0{,}1$ près de la distance $M_0N_0$.
Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = x + 2$.
On considère la fonction $h$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et définie par : $h(x) = e^{-x} - x - 2$.
En étudiant le nombre de solutions de l'équation $h(x) = 0$, déterminer le nombre de points d'intersection de la droite $\Delta$ et de la courbe $\mathcal{C}_g$.