Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STI2D — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session La Réunion 2023. Il porte sur les thèmes Équations différentielles et Fonction exponentielle. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Critère n° 1 : la variation de température d'une boisson doit être inférieure ou égale à 5 °C avec une tolérance de 0,5 °C au bout de 8 heures pour une température extérieure de $\theta_{ext} = 20{,}0 $ °C.
On souhaite vérifier le critère n° 1 dans le cas d'une boisson chaude.
L'évolution de la température (en °C) de la boisson en fonction du temps (en heure) est modélisée par la fonction $ f $ solution de l'équation différentielle suivante :
$$(E) : \quad y' = -0{,}044y + 0{,}88$$
où $ y $ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et $ y'$ sa dérivée.
Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
Sachant que la température initiale de la boisson est de 60°C, montrer que $ f $ est définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $$f(t) = 40e^{-0{,}044t} + 20.$$
En déduire la température de la boisson au bout de 8 heures. Indiquer si le critère n° 1 est vérifié.