Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STI2D — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Nouvelle-Calédonie 2023. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle, Nombres complexes. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
On désigne par $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module $ 1 $ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
Soient $ z_1 $ et $ z_2 $ les nombres complexes définis par :
$$z_1 = \sqrt{2} + \mathrm{i}\sqrt{2} \quad \text{et} \quad z_2 = e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}.$$
Écrire $ z_1 $ sous forme exponentielle, en détaillant les calculs.
Montrer que $ 2z_2^3 = z_1 $.
Soit la fonction $ f $ définie pour tout réel $ x $ par
$$f(x) = (10x - 4)e^{-x}.$$
On nomme $\mathscr{C}_f $ la courbe représentative de la fonction $ f $ donnée dans le repère ci-dessous.
La droite $ T_1 $ est la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f $ au point $ A $ d'abscisse $ 1 $ et on admet que la dérivée de $ f $ est définie pour tout réel $ x $ par
$$f'(x) = (-10x + 14)e^{-x}.$$
Courbe $\mathcal{C}_f$ et tangente $T_1$ au point A d'abscisse 1
Calculer la valeur exacte de l'ordonnée du point $ A $.
Calculer $ f'(1)$. Interpréter graphiquement cette valeur.
La courbe représentative de la fonction $ f $ suggère l'existence d'un maximum sur l'intervalle $[1 ; 2]$. Quelle est la valeur exacte de ce maximum ?