BAC TERM_STL 2024 — Métropole Septembre · 11 septembre 2024
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STL — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Métropole Septembre 2024. Il couvre 4 thèmes : Analyse graphique, Équations différentielles, Fonction exponentielle…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Le pentaoxyde de diazote
Le pentaoxyde de diazote $ N_2O_5 $ est un puissant oxydant utilisé en synthèse organique. Il possède comme particularité d'être un ($ NO_x $) solide à température ambiante. Sa manipulation requiert un soin tout particulier puisqu'à température ambiante, il peut se décomposer selon la transformation modélisée par la réaction d'équation :
$$N_2O_5 \rightarrow 2NO_2 + \frac{1}{2}O_2$$
On se propose d'étudier la cinétique de cette réaction. On introduit initialement, dans un réacteur de volume $ V $ égal à $ 1{,}0 $ L, une masse $ m $ égale à $ 4{,}4 $ g de pentaoxyde de diazote.
Données : masses molaires atomiques respectives des éléments azote et oxygène $ M(N) = 14 $ g $\cdot $ mol $^{-1}$ et $ M(O) = 16 $ g $\cdot $ mol $^{-1}$.
Montrer que la concentration en quantité de matière en $ N_2O_5 $ à l'instant initial dans le réacteur est $[N_2O_5]_0 = 41 $ mmol $\cdot $ L $^{-1}$.
On note $ t $ le temps écoulé à partir de l'introduction de la masse $ m $. On effectue six mesures expérimentales de la concentration de pentaoxyde de diazote $ N_2O_5 $ dans le réacteur, notée $[N_2O_5]_t $, pour $ t = 0 $ min, $ t = 4 $ min, $ t = 8 $ min, $ t = 16 $ min, $ t = 28 $ min et $ t = 44 $ min. On souhaite modéliser l'évolution de la concentration de pentaoxyde de diazote $ N_2O_5 $ par une fonction $ f $ donnant la concentration de pentaoxyde de diazote $ N_2O_5 $ dans le réacteur, exprimée en millimoles par litre, en fonction du temps exprimé en minutes. Le document ci-dessous présente les points expérimentaux :
Pour une réaction d'ordre 0, on rappelle que la vitesse volumique de disparition est constante au cours du temps.
Justifier qu'on peut écarter l'hypothèse d'une cinétique d'ordre 0 par rapport au réactif pentaoxyde de diazote $ N_2O_5 $.
On fait l'hypothèse que la réaction suit une cinétique d'ordre 1 par rapport au réactif pentaoxyde de diazote $ N_2O_5 $, c'est-à-dire que la vitesse volumique de disparition du réactif vérifie la loi :
$$v_{disp(N_2O_5)}(t) = k \times [N_2O_5]_t$$
où $ k $ est la constante de vitesse. En conséquence, on admet que la fonction $ f $ est solution de l'équation différentielle du premier ordre suivante :
$$y' + k \times y = 0$$
Vérifier que la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $[0\,;\,44]$ par $ f(t) = 41 \times e^{-kt}$ est la solution de l'équation différentielle qui vérifie la condition initiale $ f(0) = 41 $.
Montrer que $\ln(f(t)) = -kt + \ln(41)$.
On a représenté, dans le document réponse DR1 page 4 à rendre avec la copie, le logarithme népérien de la concentration de pentaoxyde de diazote obtenue dans l'expérience pour $ t = 0 $ min, $ t = 4 $ min, $ t = 8 $ min, $ t = 16 $ min, $ t = 28 $ min et $ t = 44 $ min. La droite tracée approxime les points.
Justifier que l'hypothèse d'une cinétique d'ordre 1 par rapport au réactif pentaoxyde de diazote $ N_2O_5 $ est compatible avec les données expérimentales.
Déterminer le coefficient directeur de la droite tracée sur le document réponse DR1 page 4 à rendre avec la copie.
En déduire que la valeur de la constante de vitesse $ k $ est environ égale à $ 0{,}063 $ min $^{-1}$.
Calculer la valeur de $\ln\left(\frac{[N_2O_5]_0}{2}\right)$ puis résoudre graphiquement l'équation $ f(t) = 20{,}5 $ en laissant la trace permettant de comprendre la lecture réalisée sur le document réponse DR1 page 4 à rendre avec la copie.
Grâce à l'expression $ f(t) = [N_2O_5]_t = [N_2O_5]_0 \times e^{-kt}$, montrer que le temps de demi-réaction $ t_{1/2}$ s'exprime par la relation :
$$t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k}$$
Calculer la valeur numérique du temps de demi-réaction $ t_{1/2}$.
Comparer les résultats des questions 8. et 10..